题目内容
（2013•嘉定区一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5+a13=34，S3=9．数列{bn}的前n项和为Tn，满足Tn=1-bn．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）写出一个正整数m，使得
是数列{bn}的项；
（3）设数列{cn}的通项公式为cn=
，问：是否存在正整数t和k（k≥3），使得c1，c2，ck成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对（t，k）；若不存在，请说明理由．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）写出一个正整数m，使得
| 1 |
| am+9 |
（3）设数列{cn}的通项公式为cn=
| an |
| an+t |
分析：（1）由已知条件可得数列的首项和公差，进而可得其通项；
（2）由已知可求得{bn}的通项，只要m+4=2n即可，写出一个满足条件的即可；
（3）可得cn，由c1，c2，ck成等差数列，可得关于正整数t和k的式子，取整数验证即可．
（2）由已知可求得{bn}的通项，只要m+4=2n即可，写出一个满足条件的即可；
（3）可得cn，由c1，c2，ck成等差数列，可得关于正整数t和k的式子，取整数验证即可．
解答：解：（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，有
，…（2分）
解得a1=1，d=2，…（3分）
所以{an}的通项公式为an=2n-1（n∈N*）．…（4分）
（2）当n=1时，b1=T1=1-b1，所以b1=
．…（1分）
由Tn=1-bn，得Tn+1=1-bn+1，两式相减，得bn+1=bn-bn+1，
故bn+1=
bn，…（2分）
所以，{bn}是首项为
，公比为
的等比数列，所以bn=(
)n．…（3分）
=
=
，…（4分）
要使
是{bn}中的项，只要m+4=2n即可，可取m=4．…（6分）
（3）由（1）知，cn=
，…（1分）
要使c1，c2，ck成等差数列，必须2c2=c1+ck，即
=
+
，…（2分）
化简得k=3+
．…（3分）
因为k与t都是正整数，所以t只能取2，3，5．…（4分）
当t=2时，k=7；当t=3时，k=5；当t=5时，k=4．…（5分）
综上可知，存在符合条件的正整数t和k，所有符合条件的有序整数对（t，k）为：（2，7），（3，5），（5，4）．…（6分）
|
解得a1=1，d=2，…（3分）
所以{an}的通项公式为an=2n-1（n∈N*）．…（4分）
（2）当n=1时，b1=T1=1-b1，所以b1=
| 1 |
| 2 |
由Tn=1-bn，得Tn+1=1-bn+1，两式相减，得bn+1=bn-bn+1，
故bn+1=
| 1 |
| 2 |
所以，{bn}是首项为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| am+9 |
| 1 |
| 2m+8 |
| 1 |
| 2(m+4) |
要使
| 1 |
| am+9 |
（3）由（1）知，cn=
| 2n-1 |
| 2n-1+t |
要使c1，c2，ck成等差数列，必须2c2=c1+ck，即
| 6 |
| 3+t |
| 1 |
| 1+t |
| 2k-1 |
| 2k-1+t |
化简得k=3+
| 4 |
| t-1 |
因为k与t都是正整数，所以t只能取2，3，5．…（4分）
当t=2时，k=7；当t=3时，k=5；当t=5时，k=4．…（5分）
综上可知，存在符合条件的正整数t和k，所有符合条件的有序整数对（t，k）为：（2，7），（3，5），（5，4）．…（6分）
点评：本题考查等差数列，等比数列的综合应用，涉及分类讨论的思想，属中档题．
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