Question

（2013•嘉定区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）被围于由4条直线x=±a，y=±b所围成的矩形ABCD内，任取椭圆上一点P，若

OP

=m•

OA

+n•

OB

（m、n∈R），则m、n满足的一个等式是

m²+n²=

1

2

．

Answer 1

分析：由题意可求得A（a，b），B（-a，b），设P（x₀，y₀），由

OP

=m•

OA

+n•

OB

（m、n∈R），可求得x₀，y₀，代入椭圆方程即可．

解答：解：依题意，A（a，b），B（-a，b），设P（x₀，y₀），
∵

OP

=m•

OA

+n•

OB

（m、n∈R），
∴x₀=ma-na，y₀=mb+nb，
∵P（x₀，y₀）为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一点，
∴（m-n）²+（m+n）²=1，
∴m²+n²=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查椭圆的简单性质，考查分析与转化能力，属于中档题．