题目内容
【题目】已知三点
，
，
，曲线
上任意一点
满足
．
（1）求的方程；
（2）动点
在曲线上，
是曲线在
处的切线．问：是否存在定点
使得与
都相交，交点分别为
，且
与
的面积之比为常数？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在，
.
【解析】分析：（1）先求出
、
的坐标，由此求得||和
的值，两式相等，化简可得所求；（2）根据直线PA，PB的方程以及曲线C在点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）处的切线方程， D、E两点的横坐标，可得S△PDE和S△QAB的比值，从而求得参数值.
详解：
（1）依题意可得
，
，
由已知得
，化简得曲线C的方程：
,
（2）假设存在点
满足条件，则直线
的方程是
，直线
的方程是
，曲线C在点Q处的切线l的方程为:
,它与y轴的交点为
，由于
，因此
①当
时，
，存在
，使得
，即l与直线
平行，故当
时与题意不符
②当
时，
，所以l 与直线
一定相交，分别联立方程组，
解得
的横坐标分别是
则
，又
，
有
，
又
于是
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需t满足
，
解得
，此时
与的面积之比为2，故存在
，使
与
的面积之比是常数2.
【题目】为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对
名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果：
表1：男、女生上网时间与频数分布表
上网时间（分钟） | [30,40） | [40,50） | [50,60） | [60,70） | [70,80] |
男生人数 | 5 | 25 | 30 | 25 | 15 |
女生人数 | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；
（Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？
上网时间少于60分钟 | 上网时间不少于60分钟 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附：公式
，其中
| 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
