题目内容
已知是偶函数.
(1)求的值;
(2)证明:对任意实数,函数的图像与直线最多只有一个交点;
(3)设若函数的图像有且只有一个公共点,求实数的取值范围.
(1);(2)证明见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)由,并进行检验;(2)原问题等价于证明方程组
最多只有一组解,即证方程最多只有一个实根,利用反证法证明该方程不可能有两个实根,所以原命题得证;(3)问题转化为方程:只有唯一解,令,则可化为关于的方程:只有唯一正根,注意讨论二次项系数为0和不为0两种情形,当二次项系数不为0时,利用二次函数根的判定方法,最终可以得到所求实数的取值范围.
试题解析:【解析】
(1)由 经检验的满足题意; 2分
(2)证明:即证方程组最多只有一组解,
即证方程最多只有一个实根. 4分
下面用反证法证明:
假设上述方程有两个不同的解则有:
.
但时,不成立.
故假设不成立.从而结论成立. 7分
(3)问题转化为方程:只有唯一解. 9分
令,则可化为关于的方程:只有唯一正根. 10分
若,则上述方程变为,无解.故 11分
若二次方程(*)两根异号,即.此时方程(*)有唯一正根,满足条件; 12分
若二次方程(*)两根相等且为正,则. 13分
故的取值范围是:. 14分
考点:偶函数,函数与方程,二次函数.
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