Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数f（x）图象关于原点对称，知对任意实数x有f（-x）=-f（x），由此能求出f（x）的解析式．
（2）由（1）中函数解析式，求出函数的导函数，是否存在x₁，x₂∈[-1，1]，使f'（x₁）•f'（x₂）═-1，进而得到结论．
解答：解． （1）∵函数f（x）图象关于原点对称，
∴对任意实数x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立
∴b=0，d=0，
∴f（x）=ax³+cx，
f'（x）=3ax²+c，
∵x=1时，f（x）取极小值，
∴3a+c=0且a+c=，
解得a=，c=-1，
∴f（x）=x3-x．
（2）由（1）得f'（x）=x²-1，
当x∈[-1，1]时，f'（x）∈[-1，0]
当且仅当x=0时，f'（x）=-1
故?x₁，x₂∈[-1，0]
f'（x₁）•f'（x₂）≥0恒成立，
即f'（x₁）•f'（x₂）≠-1恒成立，
故当x∈[-1，1]时，图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直
点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数曲线上某点的切线方程，其中熟练掌握导数法求函数极值和切线斜率的方法是解答的关键．