题目内容

【题目】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为

【答案】41π
【解析】解:由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD 将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中,E是棱的中点,
所以三棱锥A﹣BCD和三棱柱DEF﹣ABC的外接球相同,
设外接球的球心为O、半径是R,△ABC外接圆的圆心是M,则OM=2,
在△ABC中,AB=AC=2 ,由余弦定理得,
cos∠CAB= = =
所以sin∠CAB= =
由正弦定理得,2CM= =5,则CM=
所以R=OC= =
则外接球的表面积S=4πR2=41π,
故答案为:41π.

由三视图知该几何体是的三棱锥,将三棱锥放在对应的正方体中,把三棱锥A﹣BCD的外接球转化为对应三棱柱的外接球,结合图象由余弦定理、正弦定理求出外接球的半径,代入球的表面积公式求解即可.

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