Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx（a，b∈R）．
（Ⅰ）若曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线2x-y+3=0平行，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数g(x)=(m2-1)[f(x)-

7

3

x]（m为实常数，m≠±1）的极大值与极小值之差．

Answer 1

分析：（1）曲线在P（1，2）处的切线与2x-y+3=0平行等价于函数在该点的导数为2，f（1）=2，代入可求a，b
（2）由（1）知g（x）=

m2 -1

3

x3-

2m2-2

3

x2，g′（x）=（m²-1）x²-

4m2-4

3

x=（m2 -1）（x-

4

3

）x，分类讨论：分m²＞1时，m²＜1时两种情况讨论，g（x）的单调性，进而可求g（x）的极小值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx（a，b∈R），
∴f′（x）=x²+2ax+b，
∴f′（1）=1+2a+b，
∵曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），曲线C在点P处的切线与直线2x-y+3=0平行，
∴

1 3 +a+b=2 1+2a+b=2

，
解得a=-

2

3

，b=

7

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x，
∴g(x)=(m2-1)[f(x)-

7

3

x]=

m2 -1

3

x3-

2m2-2

3

x2，
∴g′（x）=（m²-1）x²-

4m2-4

3

x=（m2 -1）（x-

4

3

）x，
当m²＞1时，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上递增，在（0，

4

3

）上递减，
∴g（x）的极小值为g（

4

3

）=

m2-1

3

（

64

27

-

96

27

）=-

32(m2-1)

81

，
g（x）的极大值为g（0）=0．
∴函数g（x）的极大值与极小值之差为

32(m2-1)

81

．
当m²＜1时，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上递减，在（0，

4

3

）上递增，
∴g（x）的极小值为g（

4

3

）=

m2-1

3

（

64

27

-

96

27

）=-

32(m2-1)

81

，
g（x）的极大值为g（0）=0．
∴函数g（x）的极大值与极小值之差为-

32(m2-1)

81

．

点评：本题考查函数的极值与导数之间的关系，考查函数有极值的条件，考查学生的转化与化归思想．