Question

1．如图所示，圆O为正三角形ABC的内切圆，P为圆O上一点，向量$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则x+y的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，1]
• B． [$\frac{1}{3}$，1]
• C． [$\frac{1}{4}$，1]
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系，不妨设AC=2．A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（1，0）．则内切圆O的半径r=OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．可得内切圆的标准方程为：${x}^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{1}{3}$．设P的坐标$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[0，2π）．由于向量$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，可得x+2y=$\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ$+1，$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ$．化简即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系，
不妨设AC=2．A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（1，0）．
则内切圆O的半径r=OD=AD•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
可得内切圆的标准方程为：${x}^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{1}{3}$．
设P的坐标$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ}\end{array}\right.$，θ∈[0，2π）．
∵向量$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴$（\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ+1，\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ）$=x（1，$\sqrt{3}$）+y（2，0），
∴x+2y=$\frac{\sqrt{3}}{3}cosθ$+1，$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}sinθ$．
∴x+y=$\frac{\sqrt{3}}{6}cosθ+\frac{1}{6}sinθ$+$\frac{2}{3}$
=$\frac{1}{3}sin（θ+\frac{π}{3}）$+$\frac{2}{3}$∈$[\frac{1}{3}，1]$．
故选：B．

点评 本题考查了圆的标准方程、正三角形的性质、向量线性运算、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．