题目内容

【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足
(1)求∠ABC;
(2)若 ,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABDC面积的最大值.

【答案】
(1)解:∵

∴由正弦定理可得: sinA=sinBsinC+ sinBcosC,

∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,

∴可得: sinBcosC+ sinCcosB=sinBsinC+ sinBcosC,

可得: sinCcosB=sinBsinC,

∵sinC≠0,解得sinB= cosB,即:tanB=

∴由B∈(0,π),可得:B=


(2)解:在△BCD中,DB=2,DC=1,

∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD.

,由(1)可知△ABC为等边三角形,

∴SABC= BC2= ×(5﹣4cosD)= cosD,

又∵SBDC= =sinD,

∴S四边形ABDC= cosD+sinD= +2sin(D﹣ ).

∴当D= 时,四边形ABDC的面积有最大值,最大值为 +2.


【解析】(1)利用两角和的正弦函数公式及三角形内角和定理化简已知可得tanB= ,由B∈(0,π),即可求得B的值.(2)由已知利用余弦定理可求BC2=5﹣4cosD.利用三角形面积公式可求S△ABC= cosD, S△BDC=sinD,根据三角函数恒等变换的应用可得S四边形ABDC= +2sin(D﹣ ),利用正弦函数的图象和性质可求其最大值.
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义,掌握正弦定理:即可以解答此题.

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