Question

已知抛物线，直线交抛物线于两点，且．

（1）求抛物线的方程；
（2）若点是抛物线上的动点，过点的抛物线的切线与直线交于点，问在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出该定点，并求出的面积的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）．（2）存在定点（0,1），．　

试题分析：（1）把代入，消去，整理得，
                     2分
过抛物线的焦点，
抛物线的方程为．                         6分
（2）切线方程为，即，
                         8分
令，，
当时，，即，            10分
，，
点是抛物线的焦点，，

，
，       13分
不妨设，令，
，
在上递减，在上递增，
，
即当时，．　　　　　　　　　15分
点评：解决抛物线中的定值及最值问题的基本思想是建立目标函数和建立不等式（方程）关系，根据条件求解定值及最值，因此这里问题的难点就是如何建立目标函数和不等式（或等量关系）。建立目标函数的关键是选用一个合适变量，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据实际情况灵活处理。