题目内容

如图，DC⊥平面ABC，EA∥DC，AB=AC=AE=
1
2
DC，M为BD的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：平面AEM⊥平面BDC．
证明：（I）取BC的中点N，连接MN，AN，
因为M为BD的中点，所以MN∥DC，且MN=
1
2
DC，
而EA∥DC且EA=
1
2
DC，
∴EA
∥
.
MN，
∴EANM是平行四边形…2分
∴EM∥AN…3分
又因为EM?平面ABC，AN?平面ABC，
∴EM∥平面ABC，…5分
（II）
∵AB=AC，N为BC的中点，
∴AN⊥BC．
∵DC⊥平面ABC，AN?平面ABC，
∴DC⊥AN，
又DC∩BC=C，
∴AN⊥平面BDC，…7分
又AN∥EM，
∴EM⊥平面BDC，…9分
∵EM?平面AEM，
∴平面AEM⊥平面BDC…10分
练习册系列答案
相关题目
如图，ABCD是梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且AB=1，AD=1，CD=2，PA=3，E为PD的中点
（Ⅰ）求证：AE∥面PBC．
（Ⅱ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅲ）在面PAB内能否找一点N，使NE⊥面PAC．若存在，找出并证明；若不存在，请说明理由．
如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．
如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD=PD=2MA．
（Ⅰ）求证：平面EFG⊥平面PDC；
（Ⅱ）求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比．
如图已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M，N，P，Q分别是AA1，BB1，AB，B1C1的中点，
（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；
（2）求证：PC1∥面MNQ．
如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求证：
（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD⊥平面PBD．
如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥底面ABC，BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点，
求证：（1）DE=DA；
（2）面BDM⊥面ECA．
如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD且KF=
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BD．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ACE；
（Ⅱ）求证：平面AFC⊥平面EFC．
在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为。现有下列命题：
①若P,Q是x轴上两点，则；
②已知P(1,3)，Q()()，则d(P,Q)为定值；
③原点O到直线上任一点P的直角距离d(O,P)的最小值为;
④设A(x,y)且，若点A是在过P(1,3)与Q(5,7)的直线上，且点A到点P与Q的“直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A只有5个.
其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)

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