题目内容

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 $数学公式$ ，右顶点为D（2，0），设点 $数学公式$ ．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（II）过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值及此时直线l的方程．

解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c= $\text{[math]}$ ，则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$
（II）设该直线方程为y=kx，代入 $\text{[math]}$
解得B（ $\text{[math]}$ ），C（ $\text{[math]}$ ），
则 $\text{[math]}$ ，又点A到直线BC的距离d= $\text{[math]}$ ，
∴△ABC的面积S_△ABC= $\text{[math]}$
于是S_△ABC= $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ≥-1，得S_△ABC≤ $\text{[math]}$ ，其中，当k= $\text{[math]}$ 时，等号成立．
∴S_△ABC的最大值是 $\text{[math]}$ ．直线方程为y= $\text{[math]}$ x
分析：（Ⅰ）由左焦点为 $\text{[math]}$ ，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．
（II）设该直线方程为y=kx，代入椭圆方程，求得B，C的坐标，进而求得弦长|BC|，再求原点到直线的距离，从而可得三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．
点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求三角形面积的最值，关键是构建模型，利用基本不等式求解．

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选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：

(θ为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+

)=0．
（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值，并求此时M点的坐标．

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-

，0)，且过点D（2，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点A(1，

)，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为

，（θ为参数），以ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+

)=0，则圆C截直线l所得的弦长为

已知在平面直角坐标系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），动点M（x，y）满足条件

的最大值为（　　）

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-

，0)，右顶点为D（2，0），设点A(1，

)．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在直线l，满足l过原点O并且交椭圆于点B、C，使得△ABC面积为1？如果存在，写出l的方程；如果不存在，请说明理由．