Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）取PC的中点G，利用线面平行的判定定理，证明AF∥EG即可．
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PCE⊥平面PCD．

解答：证明：（1）取PC的中点G，连结FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线∴FG

∥ .

.

1

2

CD．
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
∴AB

∥ .

.

1

2

CD∴FG

∥ .

.

AE∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AF∥EG．
又EG?平面PCE，AF?平面PCE，
∴AF∥平面PCE．
（2）∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又
AD⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面ADP，
又AF?平面ADP∴CD⊥AF．
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形，
∴PA=AD=2．
∵F是PD的中点，
∴AF⊥PD，又CD∩PD=D．
∴AF⊥平面PCD．．
∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD，
又EG?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PCD．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及面面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．