题目内容

已知二次函数f(x)=-4x+2a•2x+1-a在区间[0,1]有最大值2,求实数a的值.
分析:令2x=t,则 y=-t2+2at+1-a,t∈[1,2],分a<1、a>2、1≤a≤2三种情况,利用二次函数的性质根据函数在区间[0,1]有最大值2,求得实数a的值.
解答:解:令2x=t,则4x=t2,∵x∈[0,1],∴t∈[1,2],…(2分)
∴y=-t2+2at+1-a,t∈[1,2].
由于函数y的对称轴为:t=a,…(3分)
当a<1时,y在[1,2]上递减,∴ymax=2,即 a=2.(舍去)  …(6分)
当a>2时,y在[1,2]上递增,∴ymax=2,即a=
5
3
.(舍去)    …(9分)
当1≤a≤2时,y在[1,a]递增,在[a,2]上递减,∴ymax=2,即a2-a+1=2,解得:a=
5
2

∵1≤a≤2,∴a=
1-
5
2
(舍去);∴a=
1+
5
2

综上:a的值为a=
1+
5
2
.…(12分)
点评:本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
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