Question

（本小题满分14分）已知且，设函数= ax² +x-3alnx．
（I）求函数的单调区间；
（II）当a=-1时，证明：≤2x-2．

Answer 1

（I）的单调递增区间为（0，）、递减区间为（，）；  （II）见解析。

试题分析：(I)先求出,然后再根据导数大于（小于）零，分别求出其单调增（减）区间.
（II）当a=-1时，,然后构造函数再利用导数求g(x)的最大值，证明其最大值不大于零即可.
（I）  …………………………1分
令解得…………………3分
列表如下：

x	（0，）		（，）
	+		-

…………………6分
故的单调递增区间为（0，）、递减区间为（，）…………………7分
（II），a=-1时，
设………………………………9分
则……………………10分
……………………12分
而 ……………………14分
点评：利用导数求单调区间时：如果含有参数，要注意分类讨论，并且要注意函数的定义域.
证明不等式的问题可以通过构造函数，通过导数研究函数的最值证明不等式是常用的策略之一.