题目内容

(本小题满分14分)已知,设函数= ax2 +x-3alnx.
(I)求函数的单调区间;
(II)当a=-1时,证明:≤2x-2.
(I)的单调递增区间为(0,)、递减区间为();  (II)见解析。

试题分析:(I)先求出,然后再根据导数大于(小于)零,分别求出其单调增(减)区间.
(II)当a=-1时,,然后构造函数再利用导数求g(x)的最大值,证明其最大值不大于零即可.
(I)  …………………………1分
解得…………………3分
列表如下:
x
(0,
 


+
 
-


 

…………………6分
的单调递增区间为(0,)、递减区间为()…………………7分
(II),a=-1时,
………………………………9分
……………………10分
……………………12分
 ……………………14分
点评:利用导数求单调区间时:如果含有参数,要注意分类讨论,并且要注意函数的定义域.
证明不等式的问题可以通过构造函数,通过导数研究函数的最值证明不等式是常用的策略之一.
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