题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
,直线
交椭圆
于不同的两点
,设线段
的中点为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当的面积为
(其中
为坐标原点)且
时,试问:在坐标平面上是否存在两个定点
,使得当直线
运动时,
为定值?若存在,求出点
的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在点
,
或
,
,使得
为定值
.
【解析】
试题分析:(1)求椭圆标准方程,由于已知离心率为,这样可得
,从而可得
,从而可设可椭圆方程为
,再把椭圆上点
的坐标代入可解得
,得椭圆方程;
(2)由题设结论可知中点的坐标适合一个椭圆方程,即点
在椭圆上,那么题中要求的定点就是椭圆的焦点.实质上从问题出发,就让我们想到点
应该在某个椭圆上.因此从这方面入手,就要求
的轨迹方程,因此我们从已知出发先找出参数
的关系,再求出弦中点
的坐标(用
表示),然后消去参数
可得.
具体方法:由直线方程
,与椭圆方程联立方程组
,消去
后得
的一元二次方程:
,已知
保证
,即直线与椭圆一定相交,设
,可得
,于是有
,从而点
的坐标,由直线圆锥曲线相交弦长公式可得弦
长,由点到直线距离公式可得原点点
到直线
的距离为
,利用
的面积为
可得
满足的关系:
,
试题解析:(1)由于椭圆的离心率为,则
,故椭圆
:
又椭圆过点,从而
,从而椭圆
的方程为
.
(2)当直线的斜率存在时,设其方程为
,并设
,联立方程
,
得,则
从而,从而点
的坐标为
由于,点
到直线
的距离为
,
则的面积
由题得:,
从而化简得:
故,即
或
,
又由于,从而
.
当时,由于
,
,
从而
即点在椭圆
上.
由椭圆的定义得,存在点,
或
,
,
使得为定值
.
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