题目内容
已知a,b,c∈R,且2a+2b+c=8,则(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是分析:由柯西不等式结合已知中2a+2b+c=8,可得(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2≥
,即可求出(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值.
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解答:解:由柯西不等式得:
(4+4+1)×[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2
∴9[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥(2a+2b+c-1)2
∵2a+2b+c=8,
∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2≥
,
∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是
,
故答案为:
.
(4+4+1)×[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2
∴9[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥(2a+2b+c-1)2
∵2a+2b+c=8,
∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2≥
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∴(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2的最小值是
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故答案为:
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点评:本题考查的知识点是一般形式的柯西不等式,其中根据柯西不等式得到(4+4+1)×[(a-1)2+(b+2)2+(c-3)2]≥[2(a-1)+2(b+2)+c-3]2是解答的关键.
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