Question

6．已知函数f（x）=$\frac{kx+b}{{e}^{x}}$，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y=0．
（I）求k，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （I）求导数，利用曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y=0，建立方程，即可求k，b的值；
（Ⅱ）求导数，求得函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即可求函数f（x）的零点个数．

解答 解：（I）∵f（x）=$\frac{kx+b}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{k-kx-b}{{e}^{x}}$
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x-y=0，
∴f′（0）=$\frac{k-b}{e}$=1，f（0）=$\frac{b}{{e}^{0}}$=0，
∴k=e，b=0；
（Ⅱ）f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-1}}$，f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x-1}}$，
∴函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∵f（1）=1＞0
∴函数f（x）的零点个数是2个．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，确定函数的解析式是关键．