题目内容
18.已知数列{an},a1=2,an=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$(n≥2),求an.分析 通过对an=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$(n≥2)两边同时取倒数可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+1,进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、1为公差的等差数列,计算即得结论.
解答 解:∵an=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$(n≥2),
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1+{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+1,
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$,
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、1为公差的等差数列,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+(n-1)=$\frac{2n-1}{2}$,
∴an=$\frac{2}{2n-1}$.
点评 本题考查数列的通项,对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
练习册系列答案
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