Question

【题目】设集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c（不必不同），都有a+b+c≠0.求集合S的元素个数的最大值.

Answer 1

【答案】20

【解析】

集合S的元素个数的最大值为2018.

令S={s|1≤s≤2018，s∈Z}，显然集合S符合要求，且|S|=2018.

另一方面，设S是满足题设条件的集合，显然（否则0+0+0=0）.设S中的所有正整数构成集合A，S中的所有负整数构成集合B.

若，则；若，则.

下面考虑A、B非空的情形.

对于集合X， Y，记，.

由题设可知， （否则，设x0∈(A+B)∩(－S)，则存在a∈A，b∈B，－c∈－S，使得a+b=x0，－c=x0.于是，存在a∈S，b∈S，使得a+b+c=0）.且A+B∈{x|x∈Z，且|x|<2017}(事实上，A中元素≤2018，B中元素≤－1，于是A+B中元素≤2017；同理，A+B中元素≥－1027.）.

设集合A中元素为a1，a2，…，ak，集合B中元素为b1，b2，…，bl，且a1<a2<…<ak，b1<b2<…<bl.

∵a1+b1<a2+b1<a3+b1<…<ak+bl <ak+b2<…< ak+bl.

∴A+B中至少有k+l－1个元素，即|A+B|≥k+l－1=|S|－1.

结合，，且，可得，4037=|M|≥|A+B|+|－S|=|A+B|+|S|≥|S|－1+|S|.

∴|S|≤2019.

若|S|=2019，则|A+B|+|－S|=4037=|M|.

∴(A+B)∪(－S)=M.

又由，，知2018∈S，－2018∈S.

∴对于k=1，2，3，…，1009，k与2018－k中至少有一个不属于S，－k与－2018+k中也至少有一个不属于S.因此，|A|≤1009，|B|≤1009.

∴2019=|S|=|A|+|5|≤1009+1009=2018，矛盾.

因此，.

综上可得，.

综上所述，集合S的元素个数的最大值为2018.