题目内容
已知椭圆
的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作
，其中圆心P的坐标为
．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；
（2）若的圆心在直线
上，求椭圆的方程．
（本小题主要考查圆、椭圆、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解：（1）由椭圆的方程知
，
∴点
，
，
设
的坐标为
， ………………1分
∵FC是的直径，
∴
∵
∴
--------------------2分
∴
，
--------------------------------------3分
解得
--------------------------------------5分
∴椭圆的离心率
--------------------6分
（2）∵过点F,B,C三点，
∴圆心P既在FC的垂直平分线上，
也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为
--------①
-----------7分
∵BC的中点为
，
∴BC的垂直平分线方程为
-----②
---------9分
由①②得
，
即
-----11分
∵P在直线上，
∴ 
∵
∴
------------------13分
由
得
∴椭圆的方程为
. -------------------14分
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．
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