Question

（2012•天门模拟）（1）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过点C作圆的切线l，过点A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为

4

．
（2）在平面直角坐标系下，曲线C₁：

x=2t+2a y=-t

（t为参数），曲线C₂：

x=2sinθ y=1+2cosθ

（θ为参数），若曲线C₁、C₂有公共点，则实数a的取值范围为

[1-

5

，1+

5

]

．

Answer 1

分析：（1）连接AC，则AC⊥BC．由条件得AC=4

3

，∠DCA=60°，所以DC=2

3

，DA=6．由切割线定理，求得DE=

12

6

=2，可得AE=AD-DE 的值．
（2）把两曲线的参数方程化为普通方程，可得两曲线分别为直线和园，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于半径，即

|2-2a|

5

≤2，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）连接AC，则AC⊥BC．由条件得AC=4

3

，∠DCA=60°，所以DC=2

3

，DA=6．由切割线定理，得DC²=DE•DA，所以DE=

12

6

=2，
因此AE=6-2=4．
故答案为 4．
（2）化为普通方程，得C₁：x+2y-2a=0，C2：x2+(y-1)2=4．
由题意得，圆心到直线的距离小于或等于半径，即

|2-2a|

5

≤2，即|a-1|≤

5

，解得1-

5

≤a≤1+

5

，
故答案为[1-

5

，1+

5

]．

点评：本题主要考查直线和圆的参数方程、与圆有关的比例线段，绝对值不灯似的解法，属于中档题．