Question

已知函数函f（x）=x|x|-2x（x∈R）
（1）判断函数的奇偶性，并用定义证明；
（2）作出函数f（x）=x|x|-2x的图象；
（3）讨论方程x|x|-2x=a根的情况．

Answer 1

（1）∵f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

∴当x＞0时，-x＜0，故f（-x）=-x²+2x，=-f（x）
当x＜0时，-x＞0，故f（-x）=x²+2x=-f（x）
当x=0时，-x=0，故f（-x）=-f（x）=0
综上函数f（x）=x|x|-2x为奇函数
（2）由（1）中f（x）=x|x|-2x=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

则函数的图象如下图所示：

（3）由图可知：
当a＜-1，或a＞1时，方程x|x|-2x=a有一个根；
当a=-1，或a=1时，方程x|x|-2x=a有二个根；
当-1＜a＜1时，方程x|x|-2x=a有三个根；