Question

已知函数f(x)=1-

4

2ax+a

(a＞0且a≠1)是定义在（-∞，+∞）上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的值域．
（3）当x∈（0，1]时，t•f（x）≥2^x-2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为函数为奇函数，则有f（-x）=-f（x），有f（0）=0得到a的值；
（2）设y=f（x）化简求出2^x＞0得到y的不等式，求出解集即可得到函数值域；
（3）将f（x）代入到不等式中化简得到一个函数f（u）=u²-（t+1）•u+t-2小于等于0，即要求出f（u）的函数值都小于等于0，根据题意列出不等式求出解集即可得到t的范围

解答：解：（1）∵f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，即f（-x）=-f（x）
令x=0得f(0)=1-

4

2×a0+a

=0，解得a=2
(2)记y=f(x)，即y=

2x-1

2x+1

，∴2x=

1+y

1-y

，由2x＞0知

1+y

1-y

＞0
∴-1＜y＜1，即f（x）的值域为（-1，1）．
(3)不等式tf(x)≥2x-2，即为

t•2x-t

2x+1

≥2x-2
即（2^x）²-（t+1）•2^x+t-2≤0，设2^x=u，∵x∈（0，1]，∴u∈（1，2]．
∴当x∈（0，1]时，tf（x）≥2^x-2恒成立，即为u∈（1，2]时u²-（t+1）•u+t-2≤0恒成立．
∴

12-(t+1)×1+t-2≤0 22-(t+1)×2+t-2≤0

，
解得：t≥0．

点评：考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，运用函数奇偶性的性质，会求函数值域的能力．