题目内容

对于函数f（x）中任意x₁，x₂（x₁≠x₂）有如下结论：
（1）f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）；
（2）f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
（3）f(-x1)=

f(x1)

；
（4）

f(x1)-1

＜0(x1≠0)；
（5）

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
当f（x）=2^x时，上述结论中正确的序号是

（2）（3）（5）

．

分析：（1）f（x₁•x₂）=2x1x2，f（x₁）+f（x₂）=2x1+2x2
（2）f（x₁+x₂）=2x1+x2=2x1•2x2=f（x₁）•f（x₂）
（3）f（-x₁）=2-x1=

2x1

，可得f(-x1)=

f(x1)

（4）x₁＞0时，2x1＞1，则有2x1-1＞0，；当x₁＜0时，-1+2x1＜0，
（5）由指数函数的性质可知，f（x）=2^x单调递增，则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立．

解答：解：∵f（x）=2^x时，
（1）f（x₁•x₂）=2x1x2，≠f（x₁）+f（x₂）=2x1+2x2；错误
（2）f（x₁+x₂）=2x1+x2=2x1•2x2=f（x₁）•f（x₂）；正确
（3）f（-x₁）=2-x1=

2x1

，∴f(-x1)=

f(x1)

正确
（4）x₁＞0时，2x1＞1，则有2x1-1＞0，；当x₁＜0时，-1+2x1＜0，
综上可得，

2x1-1

＞0，故（4）错误
（5）由指数函数的性质可知，f（x）=2^x单调递增，则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立．
故答案为：（2）（3）（5）

点评：本题主要考查了指数的基本运算性质的应用，指数函数性质的应用，解题中要注意单调性定义的灵活应用

练习册系列答案

，3}，则使函数y=x^a的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
⑤已知a是函数f（x）=2^x-log_0.5x的零点，若0＜x₀＜a，则f（x₀）＜0．

若定义在D上的函数y=f（x）满足条件：存在实数a，b（a＜b）且[a，b]?D，使得：
①任取x₀∈[a，b]，有f（x₀）=C（C是常数）；
②对于D内任意y₀，当y₀∉[a，b]，总有f（y₀）＜C．
我们将满足上述两条件的函数f（x）称为“平顶型”函数，称C为“平顶高度”，称b-a为“平顶宽度”．根据上述定义，解决下列问题：
（1）函数f（x）=-|x+2|-|x-3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由．
（2）已知f(x)=mx-

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞)是“平顶型”函数，求出m，n的值．
（3）对于（2）中的函数f（x），若f（x）=kx在x∈[-2，+∞）上有两个不相等的根，求实数k的取值范围．

若定义在D上的函数y=f（x）满足条件：存在实数a，b（a＜b）且[a，b]?D，使得：
①任取x₀∈[a，b]，有f（x₀）=C（C是常数）；
②对于D内任意y₀，当y₀∉[a，b]，总有f（y₀）＜C．
我们将满足上述两条件的函数f（x）称为“平顶型”函数，称C为“平顶高度”，称b-a为“平顶宽度”．根据上述定义，解决下列问题：
（1）函数f（x）=-|x+2|-|x-3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由．
（2）已知 $数学公式$ 是“平顶型”函数，求出m，n的值．
（3）对于（2）中的函数f（x），若f（x）=kx在x∈[-2，+∞）上有两个不相等的根，求实数k的取值范围．

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞)是“平顶型”函数，求出m，n的值．
（3）对于（2）中的函数f（x），若f（x）=kx在x∈[-2，+∞）上有两个不相等的根，求实数k的取值范围．

下列说法中，正确的是（）
①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
②当a＞1时，任取x∈R都有a^x＞a^-x；
③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；
④设a∈{-1，1，

，3}，则使函数y=x^a的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
⑤已知a是函数f（x）=2^x-log_0.5x的零点，若0＜x＜a，则f（x）＜0．
A．①④
B．①④⑤
C．②③④
D．①⑤

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