题目内容

若定义在D上的函数y=f（x）满足条件：存在实数a，b（a＜b）且[a，b]?D，使得：
①任取x₀∈[a，b]，有f（x₀）=C（C是常数）；
②对于D内任意y₀，当y₀∉[a，b]，总有f（y₀）＜C．
我们将满足上述两条件的函数f（x）称为“平顶型”函数，称C为“平顶高度”，称b-a为“平顶宽度”．根据上述定义，解决下列问题：
（1）函数f（x）=-|x+2|-|x-3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由．
（2）已知f(x)=mx-

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞)是“平顶型”函数，求出m，n的值．
（3）对于（2）中的函数f（x），若f（x）=kx在x∈[-2，+∞）上有两个不相等的根，求实数k的取值范围．

分析：（1）讨论x的范围去掉绝对值，然后根据“平顶型”函数定义进行判定即可，再求出“平顶高度”和“平顶宽度”；
（2）存在区间[a，b]?[-2，+∞），使得mx-

x2+2x+n

=c恒成立，则x²+2x+n=（mx+c）²恒成立，从而求出m，n的值．
（3）讨论x，用k表示出x，从而可求出k的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

2x-1，x＜-2

-5，-2≤x≤3

1-2x，x＞3

，------2′
则存在区间[-2，3]使x∈[-2，3]时f（x）=-5
且当x＜-2和x＞3时，f（x）＜-5恒成立． 2′
所以函数f（x）是“平顶型”函数，平顶高度为-5，平顶宽度为5．---2′
（2）存在区间[a，b]?[-2，+∞），使得mx-

x2+2x+n

=c恒成立----1′
则x²+2x+n=（mx-c）²恒成立，则

m2=1

2mc=2

c2=n

⇒

m=1

n=1

或

m=-1

n=1

----3′
当m=n=1时，f(x)=

2x+1，-2≤x＜-1

-1，x≥-1

不是“平顶型”函数．
当m=-1，n=1时，f(x)=

1，-2≤x＜-1

-2x-1，x≥-1

是“平顶型”函数∴m=-1，n=1
（3）x≥-1时，-2x-1=kx，则

-1

k+2

≥-1，得k＜-2或k≥-1------2′
-2≤x＜-1时，1=kx，则-2≤

1

k

＜-1，得-1＜k≤-

1

2

--2′所以-1＜k≤-

1

2

．1′

点评：本题主要考查了新定义的函数，以及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．

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(1)函数f(x)＝－|x＋2|－|x－3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由．

(2)已知是“平顶型”函数，求出m，n的值．

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我们将满足上述两条件的函数f(x)称为“平顶型”函数，称C为“平顶高度”，称b－a为“平顶宽度”．根据上述定义，解决下列问题：

(1)函数f(x)＝－|x＋2|－|x－3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由．

(2)求实数n的值，使函数是“平顶型”函数．

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②对于D内任意y₀，当y₀∉[a，b]，总有f（y₀）＜C．
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（1）函数f（x）=-|x+2|-|x-3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由．
（2）已知 $数学公式$ 是“平顶型”函数，求出m，n的值．
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