题目内容
【题目】在直四棱柱
中，底面
是菱形，
，
，
、
分别是线段
、
的中点.
（1）求证：
；
（2）求平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）连接
，交
于点
，利用菱形对角线的性质得出
，由直棱柱的性质得出
平面
，可得出
，由直线与平面垂直的判定定理可证明出
平面
，由此可证明出
；
（2）以为坐标原点，
，
分别为
，
轴，过点垂直于平面的直线为
轴，建立如图的空间直角坐标系
，然后利用空间向量法计算出平面与平面
所成锐二面角的余弦值.
（1）连接，交于点.
因为四边形是菱形，所以
.
因为四棱柱
是直四棱柱，所以平面.
因为
平面，所以
.
因为
，所以平面.
因为
平面，所以；
（2）由（1）知，以为坐标原点，，分别为，轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系.
因为
，所以
，因为底面四边形为菱形，且
，
所以
，
，又因为
、
分别是线段
、
的中点，
所以
，
，
，
所以
，
.
设平面的一个法向量为
，则
.
令
，得
.
易知
为平面的一个法向量.
设平面与平面所成的锐二面角为
，
所以
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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组号 | 分组 | 频数 |
1 | [0，2） | 6 |
2 | [2，4） | 8 |
3 | [4，6） | 17 |
4 | [6，8） | 22 |
5 | [8，10） | 25 |
6 | [10，12） | 12 |
7 | [12，14） | 6 |
8 | [14，16） | 2 |
9 | [16，18） | 2 |
合计 | 100 |
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