Question

如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝5，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是边长为6的正方形.

(1)求证：A₁B∥平面AC₁D；

(2)求证：CE⊥平面AC₁D；

(3)求二面角C－AC₁－D的余弦值.

Answer 1

(1)连接A₁C，与AC₁交于O点，连接OD.

因为O，D分别为A₁C和BC的中点，

所以OD∥A₁B.

又OD⊂平面AC₁D，

A₁B平面AC₁D，

所以A₁B∥平面AC₁D.

(2)在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

BB₁⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，

所以BB₁⊥AD.

因为AB＝AC，D为BC的中点，

所以AD⊥BC.又BC∩BB₁＝B，

所以AD⊥平面B₁BCC₁.

又CE⊂平面B₁BCC₁，

所以AD⊥CE.

因为四边形B₁BCC₁为正方形，D，E分别为BC，BB₁的中点，

所以Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D＝∠BCE.

所以∠BCE＋∠C₁DC＝90°.

所以C₁D⊥CE.

又AD∩C₁D＝D，

所以CE⊥平面AC₁D.

(3)如图，以B₁C₁的中点G为原点，建立空间直角坐标系.

则A(0,6,4)，E(3,3,0)，C(－3,6,0)，C₁(－3,0,0).

由(2)知CE⊥平面AC₁D，

所以＝(6，－3,0)为平面AC₁D的一个法向量.

设n＝(x，y，z)为平面ACC₁的一个法向量，

＝(－3,0，－4)，＝(0，－6,0).

由可得

令x＝1，则y＝0，z＝－.

所以n＝(1,0，－).

从而cos〈，n〉＝＝.

因为二面角C－AC₁－D为锐角，

所以二面角C－AC₁－D的余弦值为.