Question

14．对于一组向量$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$（n∈N^*），令$\overrightarrow{S_n}=\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}$，如果存在$\overrightarrow{a_p}$（p∈{1，2，3…，n}），使得|$\overrightarrow{a_p}|≥|\overrightarrow{S_n}-\overrightarrow{a_p}$|，那么称$\overrightarrow{a_p}$是该向量组的“h向量”．
（1）设$\overrightarrow{a_n}$=（n，x+n）（n∈N^*），若$\overrightarrow{a_3}$是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}$的“h向量”，
求实数x的取值范围；
（2）若$\overrightarrow{a_n}=（{（\frac{1}{3}）^{n-1}}，0）$（n∈N^*），向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$是否存在“h向量”？
给出你的结论并说明理由；
（3）已知$\overrightarrow{a_1}、\overrightarrow{a_2}、\overrightarrow{a_3}$均是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}$的“h向量”，其中$\overrightarrow{a_1}=（\frac{e^x}{{\sqrt{2}}}，0）$，$\overrightarrow{a_2}=（\frac{{{e^{-x}}}}{{\sqrt{2}}}，0）$，求证：
|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$|²+|$\overrightarrow{{a}_{3}}$|²可以写成一个关于e^x的二次多项式与一个关于e^-x的二次多项式的乘积．

Answer 1

分析 （1）由题意，得：$|\overrightarrow{a_3}|≥|\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}|$，可得不等式，解不等式，即可求实数x的取值范围；
（2）$\overrightarrow{a_1}$是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$的“h向量”，利用定义进行证明；
（3）先证明$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow 0$，则$\overrightarrow{a_3}=（-\frac{{{e^x}+{e^{-x}}}}{{\sqrt{2}}}，0）$，再证明：|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$|²+|$\overrightarrow{{a}_{3}}$|²可以写成一个关于e^x的二次多项式与一个关于e^-x的二次多项式的乘积．

解答 （1）解：由题意，得：$|\overrightarrow{a_3}|≥|\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}|$，则$\sqrt{9+{{（x+3）}^2}}≥\sqrt{9+{{（2x+3）}^2}}$…..2’
解得：-2≤x≤0…..4’
（2）解：$\overrightarrow{a_1}$是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$的“h向量”，证明如下：
$\overrightarrow{a_1}=（1，0）$，$|\overrightarrow{a_1}|=1$
而$\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}=（\frac{{\frac{1}{3}[1-{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}]}}{{1-\frac{1}{3}}}，0）=（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}，0）$…..7’
$0≤\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}＜\frac{1}{2}$，$0≤{[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}]^2}＜\frac{1}{4}$，
故$|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}|$=$\sqrt{{{[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}•{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}]}^2}+{0^2}}＜\sqrt{\frac{1}{4}}＜1$
即$|\overrightarrow{a_1}|＞|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_n}|$
所以$\overrightarrow{a_1}$是向量组$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$的“h向量”…..10’
（3）证明：由题意得：$|\overrightarrow{a_1}|≥|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}|$，$|\overrightarrow{a_1}{|^2}≥|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}{|^2}$，即${\overrightarrow{a_1}^2}≥{（\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}）^2}$${\overrightarrow{a_1}^2}≥{\overrightarrow{a_2}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_2}•\overrightarrow{a_3}$，
同理${\overrightarrow{a_2}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}$，${\overrightarrow{a_3}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_2}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}$
三式相加并化简，得：$0≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_2}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}+2\overrightarrow{a_2}•\overrightarrow{a_3}$
即${（\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}）^2}≤0$，$|\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}|≤0$，
所以$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow 0$…..13’
由$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow 0$，则$\overrightarrow{a_3}=（-\frac{{{e^x}+{e^{-x}}}}{{\sqrt{2}}}，0）$，
$|\overrightarrow{a_1}{|^2}+|\overrightarrow{a_2}{|^2}+|\overrightarrow{a_3}{|^2}=\frac{{{e^{2x}}}}{2}+\frac{{{e^{-2x}}}}{2}+\frac{{{{（{e^x}+{e^{-x}}）}^2}}}{2}$=$\frac{{{e^{2x}}}}{2}+\frac{{{e^{-2x}}}}{2}+\frac{1}{2}（{e^{2x}}+{e^{-2x}}+2）$=e^2x+e^-2x+1…..15’
=（e^x+e^-x）²-1=（e^x+e^-x+1）（e^x+e^-x-1）=$（{e^x}+\frac{1}{e^x}+1）（\frac{1}{{{e^{-x}}}}+{e^{-x}}-1）$
=（e^2x+e^x+1）（e^-2x-e^-x+1）…..18’

点评 本题考查平面向量知识的运用，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．