Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{na_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式；
（Ⅲ）对任意n∈N⁺，试比较  与 S_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1和S_n+1=2a_n+1-1相减得a_n+1=2a_n+1-2a_n，所以 ，由此可求出数列{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）首先求出数列{na_n}的前n项和为T_n=1•2+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，再写出2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，两式相减即可求出T_n的表达式，
（Ⅲ）首先求出S_n，然后讨论当n=1、n=2和n≥3时，比较 -S_n的值的正负．
解答：解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，二式相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，
∴，∴数列{a_n}是公比为2的等比数列，（3分）
又∵S₁=2a₁-1，∴a₁=1，∴a_n=2^n-1．（5分）
（Ⅱ）∵na_n=n2^n-1，
∴T_n=1•2+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①
2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②（7分）
①-②得-T_n=1+2+4+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ=，
∴T_n=n2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）2ⁿ+1．（9分）
（Ⅲ）∵，
∴，（11分）
∴当n=1时，-S₁=-＜0，当n=2时，-S₂=-＜0，；
当n≥3时，-S_n＞0．（13分）
综上，当n=1或n=2时，；当n≥3时，．（14分）
点评：本题主要考查等比数列的求和与等比关系的确定，解答本题的关键是熟练掌握等比数列的性质，并熟练掌握数列的求和公式，本题难度不是很大．