Question

9．已知函数f（x）=ax²+lnx（a∈R）
（1）当a=-$\frac{1}{4}$时，求函数在区间[1，e]上的最值；
（2）若函数f₁（x）和f₂（x）在公共定义域D内总有f₁（x）＜f₂（x）恒成立，则称f₂（x）为f₁（x）在D上的“上界函数”，若函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax为f（x）在（1，+∞）上的“上界函数”，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）求出当a=-$\frac{1}{4}$时，f（x）的解析式和导数，求得导数为0在[1，e]上的解，再分别求出端点的函数值和极值，比较即可得到最值；
（2）由题意可得$\frac{1}{2}$x²+2ax＞ax²+lnx在（1，+∞）恒成立，即为（a-$\frac{1}{2}$）x²-2ax+lnx＜0在（1，+∞）恒成立．令h（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²-2ax+lnx，求出h（x）的导数，对a讨论，判断函数的单调性，即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=-$\frac{1}{4}$时，f（x）=-$\frac{1}{4}$x²+lnx，
导数为f′（x）=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{x}$=$\frac{2-{x}^{2}}{2x}$，
f′（x）=0在[1，e]上取x=$\sqrt{2}$，
由f（$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$（ln2-1），f（1）=-$\frac{1}{4}$，f（e）=1-$\frac{1}{4}$e²，
可得f（x）的最小值为1-$\frac{1}{4}$e²，最大值为$\frac{1}{2}$（ln2-1）；
（2）由函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax为f（x）在（1，+∞）上的“上界函数”，
则$\frac{1}{2}$x²+2ax＞ax²+lnx在（1，+∞）恒成立，
即为（a-$\frac{1}{2}$）x²-2ax+lnx＜0在（1，+∞）恒成立．
令h（x）=（a-$\frac{1}{2}$）x²-2ax+lnx，h′（x）=（2a-1）x-2a+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（（2a-1）x-1）}{x}$，
当2a-1≤0时，h′（x）＜0，则h（x）在（1，+∞）递减，且有h（x）＜h（1）=-$\frac{1}{2}$-a，
即有h（1）≤0，解得a≥-$\frac{1}{2}$，则有-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{2}$；
当a＞$\frac{1}{2}$时，若$\frac{1}{2a-1}$＜1，则h（x）在（1，+∞）递增，不合题意；
若$\frac{1}{2a-1}$＞1，则易得h（x）在（1，+∞）上有最小值h（$\frac{1}{2a-1}$），不合题意．
综上可得，a的范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．