Question

11．在（x²+x+1）⁵的展开式中，x⁵的系数是51．

Answer 1

分析 先求得[（x²+x）+1）]⁵的展开式的通项公式，再求出（x²+x）^5-r 的展开式的通项公式，可得x⁵的系数．

解答 解：（x²+x+1）⁵=[（x²+x）+1）]⁵的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（x²+x）^5-r，r=0，1，2，3，4，5，
而（x²+x）^5-r 的展开式的通项公式为 T_r′+1=${C}_{5-r}^{r′}$•（x²）^5-r-r′•x^r′=${C}_{5-r}^{r′}$•x^10-2r-r′，
0≤r′≤5-r，故有$\left\{\begin{array}{l}{r=0}\\{r′=5}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=1}\\{r′=3}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{r=2}\\{r′=1}\end{array}\right.$．
故 x⁵的系数为 ${C}_{5}^{0}$•${C}_{5}^{5}$+${C}_{5}^{1}$•${C}_{4}^{3}$+${C}_{5}^{2}$•${C}_{3}^{1}$=1+20+30=51，
故答案为：51．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．