Question

6．已知数列{a_n}满足：a₁=1，${2^{n-1}}{a_n}={a_{n-1}}（n∈{N^*}，n≥2）$，则数列{a_n}的通项公式为a_n=${（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$．

Answer 1

分析 由已知得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，由此利用累乘法能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵数列{a_n}满足：a₁=1，${2^{n-1}}{a_n}={a_{n-1}}（n∈{N^*}，n≥2）$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{{2}^{2}}×$…×$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=$\frac{1}{{2}^{1+2+3+…+（n-1）}}$
=${（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$．
故答案为：${（\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．