Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）证明：当且时，只有一个零点.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）对函数求导，将分成和两类，讨论函数的单调区间.（2）对分成和两类，利用函数的单调性和零点存在性定理，证明函数只有一个零点.

解：（1）．

当时，由得，由得，在单调递减，在单调递增．

当时，由得，由得或，在单调递减，在和单调递增．

（2）当时，由（1）知，在上最大值为，在没有零点．因为，，在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点.

当时，根据函数导数可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增．在上最大值为，在没有零点．因为，．

令，，当时，，故在单调递增，所以，在单调递增，所以，因此．因为在单调递增，所以在有唯一零点．所以只有一个零点.

综上，当且时，只有一个零点．