Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=CA=2，AB=BC，D是BC₁上一点，且CD⊥平面ABC₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求二面角C-AC₁-B的平面角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直三棱柱的性质、线面垂直的判定和性质定理即可证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，三垂线定理、三角形的面积公式、二面角的定义即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵CC₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴CC₁⊥AB．
又∵CD⊥平面ABC₁，且AB?平面ABC₁，∴CD⊥AB，
又CC₁∩CD=C，∴AB⊥平面BCC₁B₁．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：AB⊥平面BCC₁B₁．∴AB⊥BC．
在Rt△ABC中，AB=BC，AC=2，∴BC=

2

．
过点D作DE⊥AC₁于E，连接CE，由三垂线定理知CE⊥AC₁，故∠DEC是二面角C-AC₁-B的平面角．
又AC=CC₁，∴E为AC₁的中点，∴CE=

1

2

AC1=

2

，
又BC1=

CC12+BC2

=

4+2

=

6

．
由

1

2

CC1•CB=

1

2

BC1•CD，得CD=

CC1•CB

BC1

=

2 3

3

．
在Rt△CDE中，sin∠DEC=

CD

CE

=

2 3 3

2

=

6

3

．

点评：熟练掌握直三棱柱的性质、线面垂直的判定和性质定理、三垂线定理、三角形的面积公式、二面角的定义是解题的关键．