题目内容

a
=(x2+6x,5x),
b
=(
x
3
,1-x),x∈[0,9]
,若f(x)=
a
b

(1)求f(x) 的单调区间
(2)求f(x)的最大值和最小值.
分析:(1)由
a
=(x2+6x,5x),
b
=(
x
3
,1-x),x∈[0,9]
,f(x)=
a
b
,能求出f(x)=
1
3
x3-3x2
+5x,x∈[0,9].由此能求出f(x) 的单调区间.
(2)令f′(x)=x2-6x+5=0,得x1=1,x2=5,由(1)知f(x) 的单调增区间为[0,1),(5,9],单调减区间为(1,5),由f(0)=0,f(1)=
7
3
,f(5)=-
25
3
,f(9)=45,能求出f(x)的最大值和最小值.
解答:解:(1)∵
a
=(x2+6x,5x),
b
=(
x
3
,1-x),x∈[0,9]

∴f(x)=
a
b
=(x2+6x,5x)•(
x
3
,1-x
)=
1
3
x3-3x2
+5x,x∈[0,9].
∴f′(x)=x2-6x+5,x∈[0,9].
令f′(x)=x2-6x+5>0,得0≤x<1,或5<x≤9.
令f′(x)=x2-6x+5<0,得1<x<5,
∴f(x) 的单调增区间为[0,1),(5,9],单调减区间为(1,5).
(2)令f′(x)=x2-6x+5=0,
得x1=1,x2=5,
由(1)知f(x) 的单调增区间为[0,1),(5,9],单调减区间为(1,5),
∵f(0)=0,f(1)=
7
3
,f(5)=-
25
3
,f(9)=45,
∴f(x)的最大值是45,最小值是-
25
3
点评:本题以函数为载体,考查学生会求函数的单调区间,考查利用导数研究函数的最值,解题的关键是正确理解极值的含义.
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