题目内容
设
=(x2+6x，5x)，
=(
，1-x)，x∈[0，9]
（1）求f（x）=
•
的表达式
（2）求f（x） 的单调区间
（3）求f（x）的最大值和最小值．
| a |
| b |
| x |
| 3 |
（1）求f（x）=
| a |
| b |
（2）求f（x） 的单调区间
（3）求f（x）的最大值和最小值．
分析：（1）由
=(x2+6x，5x)，
=(
，1-x)，x∈[0，9]，知
•
=
x3-3x2+5x，由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=
x3-3x2+5x，x∈[0，9]，知f′（x）=x2-6x+5，由此能求出f（x）的单调区间．
（3）由f（0）=0，f（1）=
，f（5）=-
，f（9）=45，能求出f（x）的最大值和最小值．
| a |
| b |
| x |
| 3 |
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
（2）由f（x）=
| 1 |
| 3 |
（3）由f（0）=0，f（1）=
| 7 |
| 3 |
| 25 |
| 3 |
解答：解：（1）∵
=(x2+6x，5x)，
=(
，1-x)，x∈[0，9]，
∴
•
=（x2+6x，5x）•(
x，1-x)=
x3-3x2+5x，
∴f（x）=
x3-3x2+5x，x∈[0，9]．
（2）∵f（x）=
x3-3x2+5x，x∈[0，9]，
∴f′（x）=x2-6x+5，
令f′（x）=0，得x=1，或x=5，
由f′（x）=x2-6x+5＞0，得x＞5，或x＜1．
由f′（x）=x2-6x+5＜0，得1＜x＜5．
∴f（x）在[0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减，在（5，9]上单调递增．
（3）∵f（0）=0，f（1）=
，f（5）=-
，f（9）=45，
∴f（x）的最大值是45，最小值是-
．
| a |
| b |
| x |
| 3 |
∴
| a |
| b |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴f（x）=
| 1 |
| 3 |
（2）∵f（x）=
| 1 |
| 3 |
∴f′（x）=x2-6x+5，
令f′（x）=0，得x=1，或x=5，
由f′（x）=x2-6x+5＞0，得x＞5，或x＜1．
由f′（x）=x2-6x+5＜0，得1＜x＜5．
∴f（x）在[0，1）上单调递增，在（1，5）上单调递减，在（5，9]上单调递增．
（3）∵f（0）=0，f（1）=
| 7 |
| 3 |
| 25 |
| 3 |
∴f（x）的最大值是45，最小值是-
| 25 |
| 3 |
点评：本题考查f（x）=
•
的表达式的求法，求f（x） 的单调区间，求f（x）的最大值和最小值．解题时要认真审题，注意利用导数求闭区间上函数的最值的应用．
| a |
| b |
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x,1-x),x∈［0,6］.