题目内容

设A={x|
6x+1
≥1},B={x|x2-2x+2m<0}.
(1)若A∩B={x|-1<x<4},求实数m的值;
(2)若B⊆A,求实数m的取值范围.
分析:(1)解分式不等式
6
x+1
≥1,可以求出集合A,由A∩B={x|-1<x<4},结合不等式解集的端点与方程根的关系,可得x=4必为方程x2-2x+2m=0的一根,代入构造关于m的方程,即可求出实数m的值;
(2)若B⊆A,我们分B=∅时,此时方程x2-2x+2m=0的△≤0,B≠∅时,要使B⊆A,必有方程x2-2x+2m=0的两根
满足-1<x1<x2≤5,最后综合讨论结果,即可得到答案.
解答:解:(1)由题意知:A={x|-1<x≤5},
又∵A∩B={x|-1<x≤4},∴x=4必为方程x2-2x+2m=0的一根,
即 42-8+2m=0,解得m=-4.…(4分)
(2)(ⅰ)当B=∅时,满足B⊆A,此时必有方程x2-2x+2m=0的△≤0,即4-8m≤0,
解得 m≥
1
2
.…(6分)
(ⅱ)当B≠∅时,要使B⊆A,必有方程x2-2x+2m=0的两根满足-1<x1<x2≤5,
△>0
f(1)≥0
f(5)≥0
-1<
-b
2a
<5
,即
m<
1
2
3+2m≥0
15+2m≥0
,解得-
3
2
≤m≤
1
2
.…(10分)
综上知:若B⊆A,则m≥-
3
2
.…(12分)
点评:本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题,集合的交集及其运算,其中(1)的关键是根据不等式解集的端点与方程根的关系,得到x=4必为方程x2-2x+2m=0的一根;(2)的关键是要对集合B进行分类讨论,解答时,易忽略B=∅时,满足B⊆A,而将(2)错解为-
3
2
≤m≤
1
2
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