题目内容

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
21
-13
将直线l：x+y-1=0变换成直线l′．
（1）求直线l′的方程；
（2）判断矩阵A是否可逆．若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A-1；若不可逆，请说明理由．
分析：（1）任取直线l上一点P（x0，y0）经矩阵A变换后点为Q（x，y），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l的方程；
（2）利用待定系数法，先假设所求的变换矩阵A-1=
ab
cd
，再利用AA-1=
10
01
建立方程组，解之即可．
解答：解：（1）任取直线l上一点P（x0，y0）经矩阵A变换后点为Q（x，y），
则
21
-13
 
x0 
y0 
=
x 
y 

所以
x=2x0+y0
y=-x0+3y0
即
x0=
3x-y
7
y0=
x+2y
7

又因点P（x0，y0）在直线l：x+y-1=0上，所以
3x-y
7
+
x+2y
7
-1=0
故直线l′的方程为4x+y-7=0
（2）因为
.
21
-13
.
≠0，所以矩阵A可逆
设A-1=
ab
cd
，所以AA-1=
10
01

即
2a+c=1
2b+d=0
-a+3c=0
-b+3d=1
解得
a=
3
7
b=-
1
7
c=
1
7
d=
2
7

所以A-1=
3
7
-
1
7
1
7
2
7
．
点评：本题以变换为依托，考查矩阵及其逆矩阵，关键是利用待定系数法，利用矩阵的乘法公式，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（1）选修4-2：矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为e1=
1
0
和e2=
0
1
．
（I）求矩阵A；
（II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为
x=2sinθ
y=cosθ
(θ为参数），C2的参数方程为
x=2t
y=t+1
(t为参数）
（I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．
（3）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=
1
f(x)+m
的定义域为R，求实数m的取值范围．
本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）选修4-2：矩阵与变换
变换T是将平面上每个点M（x，y）的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求变换T的矩阵；
（Ⅱ）圆C：x2+y2=1在变换T的作用下变成了什么图形？
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线C1的极坐标方程为：5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0，直线?的参数方程为：
x=1-
3
t
y=t
（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线?上有一定点P（1，0），曲线C1与?交于M，N两点，求|PM|．|PN|的值．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c为实数，且a+b+c+2-2m=0，a2+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
（Ⅰ）求证：a2+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
（Ⅱ）求实数m的取值范围．

本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

变换是将平面上每个点的横坐标乘，纵坐标乘，变到点.

（Ⅰ）求变换的矩阵；

（Ⅱ）圆在变换的作用下变成了什么图形？

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程为：（为参数）.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线上有一定点，曲线与交于M，N两点，求的值．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

 已知为实数，且

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求实数m的取值范围．

 
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已知曲线C1的参数方程为为参数），C2的参数方程为为参数）
（I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；
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 已知为实数，且

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求实数m的取值范围．

 

 

 

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