题目内容
【题目】双曲线
的一条渐近线方程是
，坐标原点到直线AB的距离为
，其中
，
.
（1）求双曲线的方程；
（2）若
是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求
时，直线MN的方程.
【答案】(1) 
(2) 
【解析】
（1）根据双曲线的渐近线方程求得
；求得直线
的方程，利用原点到直线的距离列方程，由此求得
的值，进而求得双曲线方程.
（2）设出直线
的方程，联立直线的方程和双曲线方程，写出韦达定理，根据
得到
，利用平面向量数量积的坐标运算化简，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
（1）设直线
，由题意，
，∴
，∴双曲线方程为.
（2）由（1）得
，
，设
，
，设直线
，
∴
∴
，整理得
①，
∴
，
，
，
.
∵
，
，，
∴
，即
，
解得
，∴
代入①有解，∴
.
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