Question

11．设y=f（t）是某地一天的温度y（℃）关于时间t（时）的函数，其中t∈[0，24），通常情况下，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+b的图象．2015年6月中旬某地连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为32℃，最低温度都出现在凌晨2时，最低温度为16℃．
（Ⅰ）请求出该地这几天中每天的温度函数y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜0，t∈[0，24））的表达式；
（Ⅱ）根据某种植物的生长特征个，如果温度低于20℃，就要采取升温措施，请问该地这几天中每天何时段内应采取升温措施？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得A，b的值，结合周期求出ω，再由$\frac{π}{12}×2+$φ=$-\frac{π}{2}+2kπ$求出φ，则函数解析式可求；
（Ⅱ）由$8sin（\frac{π}{12}t-\frac{2π}{3}）+24＜20$，得$sin（\frac{π}{12}t-\frac{2π}{3}）＜-\frac{1}{2}$．求出t的范围后得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意，y_max=32，y_min=16，
∴A=$\frac{32-16}{2}=8$，$b=\frac{32+16}{2}=24$．
∵T=24，∴ω=$\frac{2π}{24}=\frac{π}{12}$．
由$\frac{π}{12}×2+$φ=$-\frac{π}{2}+2kπ$，得φ=$-\frac{2π}{3}+2kπ（k∈Z）$．
∵|φ|＜π，∴φ=$-\frac{2π}{3}$．
故$y=8sin（\frac{π}{12}t-\frac{2π}{3}）+24$，t∈[0，24）；
（Ⅱ）由$8sin（\frac{π}{12}t-\frac{2π}{3}）+24＜20$，得$sin（\frac{π}{12}t-\frac{2π}{3}）＜-\frac{1}{2}$．
∴$\frac{7π}{6}+2kπ＜\frac{π}{12}t-\frac{2π}{3}＜\frac{11π}{6}+2kπ$，
解得：22+24k＜t＜30+24k（k∈Z）．
∵t∈[0，24），∴0＜t＜6或22＜t＜24．
故每天要在0时至6时，22时至24时要采取升温措施．

点评 本题以实际问题的形式考查由y=Asin（ωx+φ）型函数的部分图象求函数解析式，考查其性质，属中档题．