题目内容
4.已知圆O:x2+y2=4,直线x-3y+10=0上有-动点P,过点P作圆O的一条切线.切点为A,则$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$的最小值为6.分析 要使$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$最小,只有P与O最近,故此时OP和直线x-3y+10=0垂直.求出此时点P的坐标,可得OP、PA的值,再利用两个向量的数量积的定义求得$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$的最小值.
解答 解:由题意可得,要使$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$最小,只有P与O最近,
故此时OP和直线x-3y+10=0垂直.
设点P(3b-10,b),则有$\frac{b-0}{3b-10-0}$×$\frac{1}{3}$=-1,
求得b=3,
∴点P(-1,3),
∴OP=$\sqrt{10}$,切线PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{10-4}$=$\sqrt{6}$,
cos∠OPA=$\frac{PA}{PO}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$,
∴$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PA}$=$\sqrt{10}$×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$=6.
故答案为:6.
点评 本题主要考查直线和圆相切的性质,两个向量的数量积的定义,两条直线垂直的性质,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
5.sin20°sin30°+cos30°cos20°的值等于( )
A. | sin50° | B. | cos50° | C. | sin10° | D. | cos10° |