Question

1．已知函数f（x）=$\frac{ln（x+a）}{lnx}$．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间，并比较log₃4，log₄5与log₅6的大小；
（Ⅱ）若实数a满足|a|≥1时，讨论f（x）极值点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先对函数f（x）求导，根据导函数在不同区间的正负得出函数f（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小；
（Ⅱ）先对函数f（x）求导，通过讨论导函数的符号确定函数f（x）的单调性，从而得到函数f（x）的极值点的个数．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{xlnx-（x+1）ln（x+1）}{x（x+1）l{n}^{2}x}$，当x∈（1，+∞）时，$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜x+1}\\{0＜lnx＜ln（x+1）}\end{array}\right.$
当x∈（0，1）时，$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜x+1}\\{lnx＜0＜ln（x+1）}\end{array}\right.$，从而xlnx＜（x+1）ln（x+1），所以f′（x）＜0．
即f（x）只有减区间，故f（x）的减区间为：（0，1），（1，+∞）．
又f（x）=log_x（x+1），
所以log₃4＞log₄5＞log₅6．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{xlnx-（x+a）ln（x+a}{x（x+a）l{n}^{2}x}$，下面只需确定xlnx-（x+a）ln（x+a）的符号．
令g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
①若（x+a）-x=a≥1，当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，x+a∈（1，+∞），
∴g（x）＜0＜g（x+a）；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，x+a∈（$\frac{1}{e}$，+∞）因为g（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，得g（x）＜g（x+a）；
∴当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，都有g（x）＜g（x+a），∴f′（x）＜0．
此时f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）也单调递减，无极值点．
②若（x+a）-x=a≤-1，∵f（x）的定义域为（-a，+∞），此时x＞1，
∴由g（x）性质可知：当x∈（-a，+∞）时，g（x）-g（x+a）＞0，
即f′（x）＞0，此时f（x）在（-a，+∞）上单调递增，无极值点．
综上：|a|≥1时，f（x）无极值点．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值问题，综合性较强，注意分类讨论的数学思解在解题中的应用．