题目内容
【题目】如图，四棱锥
中，
，平面
底面
，
，
，
是
中点.
（1）证明：直线
平面
；
（2）点
为线段
的中点，求二面角
的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
中点
，连接
，
，证出
，利用线面平行的判定定理即可证出.
（2）不妨设
，则
，
，取
中点
，得
，
，以为原点，以
为
轴，建立空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量与平面
的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
证明：（1）如图，取中点，连接，，
因为为
中位线，
所以
且
，
又因为
且
，
所以且
，
所以四边形
为平行四边形，所以，
又因为
平面
，
平面，
所以
平面.
（2）不妨设，则，，取中点，
所以
，
又因为，
，
所以四边形
为矩形，
所以
，
，
平面
平面
，所以
平面，
，
又因为三角形为正三角形，
所以，
故如图建立空间直角坐标系
，
可得，
，
，
，
，
，
所以
，
，
设平面的一个法向量为
，则
，可取
，
易知平面的一个法向量
，
所以
，又知二面角
为锐角，
则二面角的大小为.
【题目】以昆明、玉溪为中心的滇中地区，冬无严寒、夏无酷暑，世界上主要的鲜切花品种在这里都能实现周年规模化生产.某鲜花批发店每天早晨以每支2元的价格从鲜切花生产基地购入某种玫瑰，经过保鲜加工后全部装箱（每箱500支，平均每支玫瑰的保鲜加工成本为1元），然后以每箱2000元的价格整箱出售.由于鲜花的保鲜特点，制定了如下促销策略：若每天下午3点以前所购进的玫瑰没有售完，则对未售出的玫瑰以每箱1200元的价格降价处理.根据经验，降价后能够把剩余玫瑰全部处理完毕，且当天不再购进该种玫瑰，由于库房限制每天最多加工6箱.
（1）若某天该鲜花批发店购入并加工了6箱该种玫瑰，在下午3点以前售出4箱，且被6位不同的顾客购买.现从这6位顾客中随机选取2人赠送优惠卡，则恰好一位是以2000元价格购买的顾客，另一位是以1200元价格购买的顾客的概率是多少？
（2）该鲜花批发店统计了100天内该种玫瑰在每天下午3点以前的销售量
（单位：箱），统计结果如下表所示（视频率为概率）：
| 4 | 5 | 6 |
频数 | 30 |
|
|
①估计接下来的一个月（30天）内该种玫瑰每天下午3点以前的销售量不少于5箱的天数是多少？
②若批发店每天在购进5箱数量的玫瑰时所获得的平均利润最大（不考虑其他成本），求
的取值范围.
【题目】近几年来我国电子商务行业发展迅猛，2016年元旦期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
（1）完成商品和服务评价的
列联表，并说明是否可以在犯错误的概率不超过
的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量
.
①求对商品和服务全好评的次数的分布列（概率用组合数算式表示）；
②求的数学期望和方差.
参考数据及公式如下：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（
，其中
）
