题目内容

15.已知曲线C:y=f(x)=-x3+3x2-4,x∈R,则曲线C在点P(0,-4)处的切线方程为y=-4;曲线C过点P(0,-4)的切线方程为y=-4或y=$\frac{9}{4}$x-4.

分析 求出导数,求出在点P(0,-4)处的切线的斜率,由点斜式方程得到切线方程;求出导数,设出切点(m,n),求出切线的斜率,求得切线方程代入点P解方程可得m,即可得到切线的方程.

解答 解:y=f(x)=-x3+3x2-4的导数为y′=-3x2+6x,
则在点P(0,-4)处的切线的斜率k=0,
故切线方程为y+4=0(x-0),
即为y+4=0;
设切点为(m,n),则切线的斜率为k=-3m2+6m,
切线方程为y-n=(-3m2+6m)(x-m),
代入(0,-4)可得-4-n=(-m)(-3m2+6m),
又n=-m3+3m2-4,
解方程可得m=0或$\frac{3}{2}$,
可得切线的斜率为0或$\frac{9}{4}$.
即有切线方程为y=-4或y=$\frac{9}{4}$x-4.
故答案为:y=-4,y=-4或y=$\frac{9}{4}$x-4.

点评 本题考查导数的几何意义:曲线在该点处切线的斜率,考查运算能力,确定切点和正确求导是解题的关键,属于中档题和易错题.

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