Question

（本题满分14分）
已知数列满足
（Ⅰ）证明：数列为等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项以及前n项和；
（Ⅲ）如果对任意的正整数都有求的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ），（Ⅲ）

解析试题分析：（Ⅰ）证明：由得
 
所以数列为等比数列且首项为2，公比为2.                                    …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得= 所以
利用分组求和可得：                                …9分
（Ⅲ）由，得 （10分）
令
则 
当时,当时
综合，得：当时，),即时，,
所以为单调递增数列，故，即所求的取值范围是 .           …14分
考点：本小题主要考查等比数列的证明、构造新数列、用函数的观点考查数列的单调性、恒成立问题求参数的值以及数列中的基本计算问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和转化思想的应用.
点评：要证明等差或等比数列，只能用定义或等差、等比数列的中项，恒成立问题一般转化为求最值问题解决，而数列是一种特殊的函数，可以用函数的观点考查数列的单调性进而求最值.