Question

函数f(x)的定义域为D，如果存在x₀∈D，使f(x₀)＝x₀，则称点(x₀，x₀)为函数f(x)图象上的不动点．

(1)试证明：若定义在R上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个．

(2)若函数f(x)＝的图象上有两个关于直线x＋y＝3对称的不动点，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又因为x∈R，令x＝0，所以f(0)＝0． 　　所以(0，0)是奇函数f(x)的一个不动点．设c≠0，(c，c)是f(x)的一个不动点，f(c)＝c．由于f(－c)＝－f(c)＝－c，所以(－c，－c)也是f(x)的一个不动点．且－c≠c，即奇函数f(x)的非零不动点如果存在，则必成对．又因为f(x)只有有限个不动点，所以不动点数目是奇数个． 　　(2)设点(x0，x0)是f(x)＝图象上的一个不动点，则(x0，x0)关于直线x＋y＝3的对称点(3－x0，3－x0)也是f(x)的不动点，即x0，3－x0是方程x＝的两个根． 　　整理得，x2＋(a－2)x－4＝0，由韦达定理得，－(a－2)＝x0＋(3－x0)，a＝－1故f(x)＝．