题目内容

19．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t}\\{y=1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数）．以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是直线l与曲线C的内部的公共点，求x-y的取值范围．

分析 （Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2，化极坐标方程为普通方程；
（Ⅱ）由点P在圆内，代入圆的方程，可得t的范围，再由不等式的性质，即可得到x-y的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵ρ=2sinθ，∴ρ2=2ρsinθ，
∴x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，
所以曲线C的直角坐标方程为x2+（y-1）2=1．　　　
（Ⅱ）∵x-y=$\frac{3}{5}$t-（1+$\frac{4}{5}$t）=-$\frac{1}{5}$t-1，
由P在圆内，可得（$\frac{3}{5}$t）2+（$\frac{4}{5}$t）2＜1，
解得-1＜t＜1，
∴-$\frac{1}{5}$＜-$\frac{1}{5}$t＜$\frac{1}{5}$，∴-$\frac{6}{5}$＜-1-$\frac{1}{5}$t＜-$\frac{4}{5}$，
即x-y的范围是（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{4}{5}$）．

点评 本题考查参数方程和极坐标方程和普通方程的互化，主要考查点和圆的位置关系，以及不等式的性质的运用，属于中档题．

练习册系列答案
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