Question

8．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其左、右焦点分别是F₁（-1，0）和F₂（1，0），过点F₂的直线交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）若|AF₂|=$\frac{5}{2}$，求三角形AF₁F₂的面积；
（Ⅲ）在椭圆Γ上是否存在点P，使得点P同时满足：①过点P且平行于AB的直线与椭圆有Γ且只有一个公共点；②线段PF₁的中点在直线AB上？若存在，求出点P的坐标；否则请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由离心率e=$\frac{1}{2}$，c=1，及其b²=a²-c²，解出即可；
（Ⅱ）由椭圆定义可得：|AF₁|=2a-|AF₂|，又|F₁F₂|=2，利用勾股定理的逆定理可得：AF₁⊥F₁F₂，可得${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|A{F}_{1}||{F}_{1}{F}_{2}|$．
（Ⅲ）存在，点P的坐标为$（\frac{4}{3}，±\frac{\sqrt{15}}{3}）$．理由如下：当直线AB⊥y轴时，与题意不符．故设直线AB：x=ty+1，由此可得过点P且平行于AB的直线为l：x=ty+m（m≠1），利用线段PF₁的中点在直线AB上，可得点F₁到直线AB的距离等于两平行直线AB与l之间的距离，解得m=-1或m=3．分类讨论，与椭圆方程联立，利用△=0，解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知，离心率e=$\frac{1}{2}$，c=1，解得a=2，b²=a²-c²=3，
从而椭圆Γ的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）由椭圆定义可得：|AF₁|=2a-|AF₂|=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
又|F₁F₂|=2，因此$|A{F}_{2}{|}^{2}=|A{F}_{1}{|}^{2}+|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$，
∴AF₁⊥F₁F₂，
故${S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|A{F}_{1}||{F}_{1}{F}_{2}|$=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2$=$\frac{3}{2}$．
（Ⅲ）存在，点P的坐标为$（\frac{4}{3}，±\frac{\sqrt{15}}{3}）$．理由如下：
当直线AB⊥y轴时，与题意不符．
故设直线AB：x=ty+1，
由此可得过点P且平行于AB的直线为l：x=ty+m（m≠1），
∵线段PF₁的中点在直线AB上，
∴点F₁到直线AB的距离等于两平行直线AB与l之间的距离，
即$\frac{|-1-1|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\frac{|-m+1|}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，解得m=-1或m=3．
由于m=-1时，直线l：x=ty-1过点F₁，不符合条件，故舍去．
由此得直线l为x=ty+3，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
得到（3t²+4）y²+18ty+15=0，…①
由于直线为l与椭圆有且只有一个公共点，
故△=（18t）²-4×（3t²+4）×15=0，解得t=$±\frac{\sqrt{15}}{3}$，
此时方程①为$3{y}^{2}±2\sqrt{15}y+5$=0，
解得y=$±\frac{\sqrt{15}}{3}$为点P的纵坐标，
满足题意的点P的坐标为$（\frac{4}{3}，±\frac{\sqrt{15}}{3}）$．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆方程相切转化为方程联立可得△=0、点到直线的距离公式、勾股定理的逆定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．