题目内容
【题目】如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．
【答案】（1）x2=8y（2）直线AB的方程为
，经过焦点F（0，2）
【解析】试题分析：（1）由点M（4，m）在抛物线上得16=2pm，根据抛物线的定义得|MF|=m+
=4，建立关于p的方程求得p即可得到所求方程；（2）设出直线EA，EB的方程，根据相切利用代数方法求得切点A，B的坐标，然后求得直线AB的方程后验证即可。
试题解析：
（1）由条件得抛物线C的准线方程为
，
∴|MF|=m+
=4，
∵点M（4，m）在抛物线上，
∴16=2pm，
∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，
∴抛物线C的标准方程为x2=8y。
（2）设直线EA的方程为
，
由
，消去x整理得得
2y2﹣（2
+8）y+1=0，
∵直线EA与抛物线C相切，
∴△=（2
+8）2﹣4
2=0，解得
=﹣2，
∴
y2﹣4y+1=0
解得
∴
，
故点A的坐标为
，
设直线EB的方程为x=ty﹣1，
由
，消去x整理得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，
∵直线EB与圆F相切，
∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，解得
，
∴25y2﹣40y+16=0
解得y
，
，
故点B的坐标为
，
∴直线AB的斜率
，
可得直线AB的方程为
，该直线经过抛物线的焦点F（0，2）。
【题目】为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在[70，80）中的人数为20．
男生 | 女生 | 合计 | |
优秀 | |||
不优秀 | |||
合计 |
（Ⅰ）求a和n的值；
（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数
和中位数m；
（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在[50，80）中的男、女生人数比为1：2，成绩落在[80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．
参考公式和数据：K2=
．
P（K2≥k） | 0.50 | 0.05 | 0.025 | 0.005 |
k | 0.455 | 3.841 | 5.024 | 7.879 |
【题目】某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表
商店名称 | A | B | C | D | E |
销售额x（千万元） | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利润额y（百万元） | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性．
（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
